cho a+b+c=3 (a,b,c>0)
CMR: a2+b2+c2 -(a3+b3+c3) >= 9
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
K
1
27 tháng 11 2023
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)
=>\(2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
=>ab+bc+ac=0
\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)
=>\(\dfrac{\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{3}{abc}\)
=>\(\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3=3\left(abc\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(ab+bc\right)+\left(ac\right)^3=3\left(abc\right)^2\)
=>\(\left(-ac\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(-ac\right)+\left(ac\right)^3-3\left(abc\right)^2=0\)
=>\(-a^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2=0\)
=>0=0(đúng)
NA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 8 2021
Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
NV
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2022
1. Ta sẽ chứng minh dựa trên các kết quả quen thuộc sau về tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác:
\(a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
Và: \(a.IA^2+b.IB^2+c.IC^2=abc\)
Đẳng thức thứ nhất chỉ cần dựng hình bình hành AMIN, sau đó sử dụng định lý phân giác các góc B và C.
Đẳng thức thứ hai ta chỉ cần lấy 1 điểm P nào đó đối xứng I qua AC, gọi D, E, F là tiếp điểm của (I) với BC, AC, AB, sau đó sử dụng tỉ lệ diện tích:
\(\dfrac{S_{AEIF}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{AIK}}{S_{ABC}}=\dfrac{AI.AK}{AB.AC}=\dfrac{IA^2}{bc}\)
Tương tự và cộng lại ...
Từ đó:
\(a.MA^2+b.MB^2+c.MC^2=a.\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+b\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2+c.\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)^2\)
\(=\left(a+b+c\right)MI^2+a.IA^2+b.IB^2+c.IC^2+2\overrightarrow{MI}\left(a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)MI^2+abc\ge abc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(MI=0\) hay M là tâm đường tròn nội tiếp
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2022
2. Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác, thực hiện phép thế Ravi:
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x+y;y+z;z+x\right)\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(4\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^3+y^3+z^3+3xyz+xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)\)
Đây là BĐT Schur bậc 3
14 tháng 5 2021
a )
`VP= (a+b)^3-3ab(a+b)`
`=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2`
`=a^3+b^3 =VT (đpcm)`
b)
b) Ta có
`VT=a3+b3+c3−3abc`
`=(a+b)3−3ab(a+b)+c3−3abc`
`=[(a+b)3+c3]−3ab(a+b+c)`
`=(a+b+c)[(a+b)2+c2−c(a+b)]−3ab(a+b+c)`
`=(a+b+c)(a2+b2+2ab+c2−ac−bc−3ab)`
`=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=VP`
14 tháng 5 2021
a) Ta có:
`VP= (a+b)^3-3ab(a+b)`
`=a^3 + b^3+3ab ( a + b )- 3ab ( a + b )`
`=a^3 + b^3=VT(dpcm)`
b) Ta có
`VT=a^3+b^3+c^3−3abc`
`=(a+b)^3−3ab(a+b)+c^3−3abc`
`=[(a+b)^3+c^3]−3ab(a+b+c)`
`=(a+b+c)[(a+b)^2+c^2−c(a+b)]−3ab(a+b+c)`
`=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab+c^2−ac−bc−3ab)`
`=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2−ab−bc−ca)=VP`
câu này sai rồi. với a = b = c = 1 thì BĐT không đúng.